FPM 2002, ТОМ 8, ВЫПУСК 1, СТР. 141-150

ФУНДАМЕНТАЛЬНАЯ И ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА
2002, ТОМ 8, ВЫПУСК 1, СТР. 141-150

О нижней оценке нормы интегрального оператора свёртки

Е. Д. Нурсултанов
К. С. Сайдахметов

Аннотация

Посмотреть как HTML Посмотреть как рисунок Посмотреть в формате LaTeX


В работе изучается вопрос о нижней оценке нормы оператора свёртки.
Доказано, что если
$1 < p \leq q < +\infty$,
$K(x) \geq 0\
\forall x \in \mathbb{R}^n$
и оператор

$$

(Af)(x) = \int_{\mathbb{R}^n} K(x-y)f(y)\,dy = K*f

$$

ограниченно действует из $L_p$
в $L_q$, то существует константа
$C(p,q,n)$, такая что

$$
C \sup_{e \in Q(C)}
\frac{1}{|e|^{1/p-1/q}} \int_e K(x)\,dx \leq
\|A\|_{L_p \to L_q}.
$$

Здесь $Q(C)$ ---
множество всех измеримых по Лебегу множеств
конечной меры, удовлетворяющих условию
$|e+e| \leq C \cdot |e|$,
$|e|$ ---
мера Лебега множества $e$.


Если $1 < p < q < +\infty$,
оператор $A$ ограниченно действует
из $L_p$
в $L_q$ и
$\mathfrak Q$ ---
множество всех гармонических отрезков,
то существует константа $C(p,q,n)$,
такая что


$$
C \sup_{e \in \mathfrak Q} \frac{1}{|e|^{1/p-1/q}}

\biggl|\, \int_e K(x)\,dx \biggr| \leq
\|A\|_{L_p\to L_q}.
$$

Полнотекстовая версия статьи в формате PostScript (49 Kb)

URL страницы: http://mech.math.msu.su/~fpm/rus/k02/k021/k02112t.htm.
Изменения вносились 8 июля 2002 г.